∂u/∂t + (u·∇)u = −∇p + νΔu
여기서 u는 유체의 속도, p는 압력, ν는 점성
∂u/∂t는 시간이 지나면서 유체의 속도가 어떻게 변하는지,
(u·∇)u는 유체가 자기 자신의 흐름에 의해 어떻게 움직임이 바뀌는지,
−∇p는 압력 차이가 유체를 밀어내는 효과,
νΔu는 점성이 속도의 차이를 퍼뜨려 흐름을 매끄럽게 만드는 효과임
openai가 반례를 찾아 해결했다는 밀레니엄 문제는 여기서
Smooth initial condition → smooth solution for all time ?
즉 처음 유체의 상태가 매끄럽다면, 시간이 아무리 지나도 매끄러운 해가 계속 존재하는가? 아니면 속도 같은 값이 특정 순간에 무한대로 발산하는 singularity(특이점)이 존재해 매끄러운 해가 아니게 되는 지점이 있는가에 대한 수학적인 질문임
위의 방정식이랑 위의 그림이랑 연계해 생각해보면,
“3D vortex stretching이 점성의 smoothing을 이기면서 실제 singularity를 만들 수 있느냐?”
가 증명되면 반례인 구조를 만들어낸거임
이를 보이기 위해
1. 특이점에 가까워질수록 vortex의 공간적 크기는 줄이고 회전 속도는 키우는 구조를 설계해서 회전 방향에서는 비선형 효과가 점점 강해지고, 수축 방향에서는 점성이 계속 중요한 규모로 남도록 스케일을 맞췄음
그런데 이렇게 만든 vortex를 나비에–스토크스 방정식에 넣으면 방정식이 정확히 맞아떨어지지 않고 약간의 오차가 남는데, 이 오차를 residual이라고 함
2. 그래서 vortex 주변에 작은 oscillatory pulse를 넣 이 pulse들은 개별적으로는 작게 진동하지만, 전체적으로는 momentum flux를 만들어내서 vortex가 만들어내는 residual을 상쇄하도록 설계했음
그 결과 속도는 무한대로 발산하지만, 동시에 그 공간의 크기도 작아지기 때문에, 따라서 속도 자체는 무한대로 가더라도 전체 에너지는 유한하게 유지되는 구조를 찾았다!
7줄 요약
Smooth initial condition
→ 3D vortex stretching으로 vortex를 집중
→ 공간 크기는 줄이고 속도는 키움
→ 점성도 필요한 규모로 유지
→ oscillatory pulse로 residual을 상쇄
→ 에너지는 유한하게 유지
→ 특정 순간 속도가 무한대로 발산하는 singularity 구성
나비에스톡스라고 공학적인 함의가 있는건 아니고 수학적인 해결인거임
오히려 배울점은 이걸 찾아내는 agent 구조설계인 것 같고,
위에서 설명한 ansatz를 어디서 참고했냐 가 지금 논란인듯
https://openai.com/index/navier-stokes-solution/