https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566
anthropic 수학자가 fable 5 를 사용해서 80년간 안나오던 자코비안 추측의 3차원 반례를 찾았는데,
나는 이게 수학이란 학문의 커리큘럼이나 학습방법론에 엄청 의미가 크다고 생각함
수학은 어느정도 아름다움을 추구하는 학문인데, 이걸 가속해서 벗길 수 있다는 사실부터가 야릇하고,
적당한 수준의 ansatz가 있다면, 실험 사이클을 극도로 가속시킬 수 있다는 걸 실제로 보여줬기 때문에
수학을 배우는 사람의 이데아가 완전히 달라져야 한다고 생각함
본인의 실험실을 상상하고 설계하는 능력을 가지고 토큰(돈)만 충분하다면,,,
추신)
자코비안 추측은 음 부분적으로 완벽하면 전체도 완벽할까? 라는 의미를 담은 아주 아름다운 질문이었음
세계지도를 만든다고 생각해보면, 지도의 어느 부분을 현미경으로 확대해서 봐도 찢어진 곳도 없고, 구겨진 곳도 없고, 길과 강도 모두 자연스럽게 이어지면 우리는 당연히 세계지도 전체도 멀쩡하겠지 라고 생각하고, 서울,부산,제주가 갑자기 같은 좌표에 인쇄되어 있을 거라고는 아무도 상상하지 않고, 지도에서 한 좌표가 세 도시를 가리킨다면, 지도만 보고는 어느 도시인지 절대 복원할 수 없음
자코비안 추측은 공간을 아무리 작은 조각으로 잘라 들여다봐도 한 번도 접히거나 눌린 흔적이 없다면, 전체 공간도 절대로 자기 자신과 겹치지 않을 거라는(역함수를 보장한다는) 느낌인데 이게 아름다운 이유는 복잡한 전체를 전부 검사하지 않고도 작은 조각 하나만 보면 전체를 알 수 있다는 믿음을 담고 있기 때문임 그래서 자코비안 추측은 80년 넘게 대수기하학, 미분기하학, 복소해석학을 관통하는 대표적인 난제였음
수학적으로는, 다항식으로 3차원 공간을 변형할 때 어느 지점에서도 공간이 납작하게 눌리지 않는다면 그 변형은 완전히 되돌릴 수 있을 것이라는 추측이고,
여기서 공간이 눌리거나 찢어지는지를 측정하는 값이 자코비안 행렬식인데, 자코비안이 0이 아니라는 것은, 어느 점을 현미경으로 확대해서 봐도 공간이 접히거나 뭉개지지 않는다는 뜻이고 즉 그 작은 영역에서는 항상 역함수가 존재하고, 가까운 두 점은 절대로 하나로 합쳐지지 않는다는 것
그런데 이번에 발견된 다항식 함수
((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy),
y + 3x(1+xy)^2 z + 3xy^2(4+3xy),
2x - 3x^2y - x^3z)
는 복소수 3차원 공간을 자기 자신으로 보내는 함수인데, 공간 전체에서 자코비안 행렬식이 항상 -2 라서, 어디를 확대해서 봐도 공간은 접히거나 납작하게 눌리지 않음. 그런데도 이 함수는
(0,0,-1/4),
(1,-3/2,13/2),
(-1,3/2,13/2)
라는 서로 완전히 다른 세 점을 모두
(-1/4,0,0)
이라는 단 하나의 점으로 보내버림
세계지도로 치면 서울, 부산, 제주를 각각 찍었는데 지도에서는 세 도시가 정확히 같은 좌표에 인쇄되어 있는 셈이고, 현미경으로는 어디에도 접힌 자국이 보이지 않았지만, 지구 전체를 펼쳐보니 이미 지도 어딘가에서 공간이 자기 자신과 겹쳐져 있었던 거라,
출력값 (-1/4,0,0) 만 보고서는 원래 세 점 중 어디에서 왔는지 알 수 없고, 즉 이 함수에는 역함수가 존재할 수 없다! 즉 자코비안은 공간 전체에서 완벽하게 살아 있는데도 함수는 일대일 대응이 아니므로, 바로 이 한 공식과 세 번의 대입이 3차원 자코비안 추측의 반례!